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高斯分布的线性封闭性的证明

发布时间:2019-08-06 03:10 来源:未知 编辑:admin

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  展开全部1、什么是指数分布族1.1 基本描述指数型分布是一类重要的分布族,在统计推断中,指数型分布族占有重要的地位,在各领域应用广泛。许多的统计分布都是指数型分布,彼此之间具有一定的共性,在研究其统计性质与分布特征时,利用指数型分布族的特征,可以将这一族分布的特征分别表示出。在广义线性模型的统计推断中,常假设样本服从指数型分布。1.2 定义指数分布族可以写成如下的形式:

  在这里,η叫做分布的自然参数,a(η)叫做累积量母函数(又称log partition function)。exp(-α(η))这个量是分布p(y;η)的归一化常数,用来确保分布p(y;η)对y的积分为1。T(y)称为充分统计量(sufficient statistic),对于我们考虑的分布,一般认为T(y)=y。

  一组确定的T,a和b定义了这样一个以η为参数的分布族。对于不同的η,我们可以得到指数分布族中不同的分布。

  对于单参数指数型分布的随机变量,记,分别表示关于η的函数a对η求一二阶导数,则有以下结论:

  对于高斯分布,当方差已知时,(方差对模型的参数没有影响,所以我们可以任意地选一个方差),在这里我们令,则其分布可以表示为:

  这显示了高斯分布可以被写成是指数分布族的形式,所以高斯分布属于指数分布族。

  对于二项分布(伯努利分布),每一个取不同均值的参数Φ,就会唯一确定一个y属于{0,1}之间的分布。所以可以表示为

  这显示了二项分布可以被写成是指数分布族的形式,所以二项分布属于指数分布族。

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