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正态分布的概率密度函数是怎么得来的?

发布时间:2019-08-14 14:26 来源:未知 编辑:admin

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  展开全部它就是一个定义,符合这个概率密度函数的就是正态分布。它的积分不能用初等函数表示,所以不能直接表达成概率分布函数。

  但又是一个很神奇的定义,因为广义中心极限定理说明很多实际现象都能用它来解释。

  知道合伙人教育行家采纳数:26659获赞数:209518从师范学校毕业后一直在现在单位工作向TA提问展开全部正态分布(Normal distribution),也称“常态分布”,又名高斯分布(Gaussian distribution),最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。[1] 是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。

  正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。

  若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布,记为N(μ,σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

  正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究,故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大,他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称,后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他,也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票,其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法:在高斯的一切科学贡献中,其对人类文明影响最大者,就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初,也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性,其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作,并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来,为此,他在即将发表的一篇文章(发表于1810年)上加上了一点补充,指出如若误差可看成许多量的叠加,根据他的中心极限定理,误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年,海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出了这个学说。

  其实,他提出的形式有相当大的局限性:海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差” 之和,每只取两值,其概率都是1/2,由此出发,按狄莫佛的中心极限定理,立即就得出误差(近似地)服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义,在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为,高斯的说法有一点循环论证的气味:由于算术平均是优良的,推出误差必须服从正态分布;反过来,由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性,故必须认定这二者之一(算术平均的优良性,误差的正态性) 为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由,以它作为理论中一个预设的出发点,终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来,使之成为一个和谐的整体,实有着极重大的意义。

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