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第二章伪球面常高斯曲率曲面

发布时间:2019-07-01 15:42 来源:未知 编辑:admin

  第二章曲面论 伪球面 曳物线(tractrix)从曲线C 上某一动点P 的切线 与某一定直线 为曳物线(tractrix)。直线 为其渐近线。我们首先定义 Oxz 平面上的曳 物线如下: 定义 如果曲线 的切线与z轴的交点Q 到点P 的线段 轴称为曳物线的渐近线。下面我们来推导曳物线的方 切线z轴的交点为 dzdx sincos sin sin 2tancos 于是(ln tan cos 因此,Oxz平面上以z 轴为渐近线 sin(ln tan cos 二、伪球面由曳物线绕其渐近线旋转而形 成的回转曲面叫做伪球面。这种曲 面的全曲率在每一点都是常数且 是负的。位于此曲面上的直线与平 行公设不一致。因而构造这种曲面 的可能性为非欧几何学提供了相 对相容性的证明。 曳物线绕其渐近线旋转一周而 得到的曲面。1868 年意大利数学家 贝尔特拉米首先提出伪球面可作为 实现双曲几何的模型,从而促使非 欧几何得到普遍承认。 如果把上述曳物线z 轴旋转, 所得的旋转曲面称为伪球面, 它的参数表示是 sin cos sinsin (lntan cos 将伪球面的参数代入计算,所以伪球面 的第一基本形式是 伪球面及其测地线.伪球面的参数方程及其高斯曲率 轴旋转而来.所谓拽物线是满足如下拽物方程 的曲线: 于是得到伪球面的参数方程: 作图得到: 的高斯曲率公式:得到伪球面的高斯曲率为 常数 -1. 2.伪球面的测地线方程 直接计算伪球面的法向n(非单位) 这样,若伪球面上的曲线 则由测地线应满足的条件 得到测地线方程为: 特别地, 于是,我们可以具体的求出这条测 地线. 作图如下: 图中红线表示这条测地线.注意由测地线方程可知:伪球面上 的经线和纬线都不是测地线. 非欧几何的其他„简介 贝特拉米(E.Beltrami, 1835-1899),意大利数学家。 主要成就 证明了罗巴切夫斯基的 非欧几何。 1868 米利用当时微分几何的最新研究成果,发表了一篇著名论文 《非欧几何解释的尝试》,证明 了非欧几何可以在欧几里德空 (pseudo-sphere)”,即“曵物线(tractrix)”的“回转曲面”上 一一对应的实现,从而奠定了罗 巴切夫斯基思想得到普遍承认! 10 伪球面是一种形如喇叭的特殊 曲面,其高斯曲率为负常数的特 殊曲面。具体而又是在,伪球面 的内蕴几何与罗氏几何是一致 的,一个伪球面可以解释成为罗 氏几何中一个平面的一部分。这 就为罗氏几何提供了一个模型。 这就是说,非欧几何命题可以 “翻译”成相应的欧几里得几何 命题,如果欧几里得几何没有矛 盾,非欧几何也就自然没有矛 此后非欧几何学的基本思想才开始为人们所理解和接 研究成果对后世的影响因为贝特拉米《非欧几何解 释的尝试》的出现,才将罗巴切 夫斯基从非议中解救出来,他所 创立的非欧几何学的基本思想 才开始为人们所理解和接受。 长期无人问津的非欧几何开始 获得学术界的普遍注意和深入 11 研究,罗巴切夫斯基的独创性研 究也就由此得到学术界的高度 评价和一致赞美,他被人们赞誉 为“几何学中的哥白尼”。 贝特拉米的证明开始,非欧几何终于从一个无聊的“牛角尖”, 变成了公认的理论。这些钻牛角 尖的人,终于可以扬眉吐气,证 明他们的牛角尖钻得是有意义 的,而且是有很重大的意义的。 非欧几何的其他证明 稍后,彭加勒和克莱因在欧氏 系统也分别构造了罗氏几何的 模型。 彭加勒的模型是:在 欧氏平面上划一条直线而使之 分为上、下两个半平面,把不包 括这条直线在内的上半平面作 为罗氏平面,其上的欧氏点当做 罗氏几何的点,把以该直线上任 一点为中心,任意长为半径所作 出之半圆周算做是罗氏几何的 12 直线。然后,对如此规定了的罗 氏几何元素一一验证罗氏几何 诸公理全部成立。 借助彭加 勒模型可以证明罗氏几何的相 对相容性。这种解释性模型是数 理逻辑和数学基础中的理论研 究的重要方法。而描述性数学模 型是解决实际应用问题的重要 手段。 至此,非欧几何才真正获得了 广泛的理解。 我们之所以称曲线)为曳物线的原因如下: 条曲线上每点P,作切线 与轴交于Q, 可以验证: 线段PQ的长度为a. 这就相当于人Q用一根长为a的直 绳拖曳着物体沿z -轴走动时, 物体 所走出的轨迹,它正好就是曲线原始更生动形象的解释主人拖 曳着不情愿跟着走的狗,主人沿直 面,人走后面。中国以前所扎的扫把形状,类似于曳物线一段所围的 图形。 【注2】可以验证第一象限内曳物线 正半轴之间所夹部分的面积为 -轴旋转所得的曲面的表面积是 这恰等于半径为 分享知识成就自我!

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